Wzór na pole prostokąta z przekątnych – wyprowadzenie i przykładowe obliczenia

Najbardziej znany wzór na pole prostokąta to \(P=a\cdot b\). Czasem jednak nie znamy boków, a dysponujemy informacjami o przekątnych (np. długością przekątnej i kątem między przekątnymi). Wtedy da się policzyć pole „z przekątnych” — ale ważne jest, jakie dokładnie dane o przekątnych mamy, bo sama długość przekątnej nie wystarcza do jednoznacznego wyznaczenia pola.

Kiedy da się wyznaczyć pole prostokąta z przekątnych?

• Jeśli znasz tylko długość przekątnej \(d\) — pole nie jest jednoznaczne. Dla tego samego \(d\) można mieć wiele różnych prostokątów (wąski, prawie kwadratowy itd.), a więc różne pola.
• Jeśli znasz długość przekątnej \(d\) i kąt \(\varphi\) między przekątnymi — pole da się policzyć jednoznacznie.
• Jeśli znasz długość przekątnej \(d\) i jeden bok, np. \(a\) — pole też da się policzyć (bo wtedy drugi bok \(b\) wynika z tw. Pitagorasa).

Rysunek pomocniczy (prostokąt z przekątnymi)

Poniżej jest prosty rysunek: prostokąt, jego przekątne oraz zaznaczony kąt \(\varphi\) między przekątnymi (w punkcie przecięcia).

Kluczowa obserwacja: pole prostokąta a pole rombu z połówek przekątnych

W prostokącie przekątne przecinają się w swoich środkach i dzielą prostokąt na 4 przystające trójkąty. Można też spojrzeć na to tak:

• Niech \(O\) będzie punktem przecięcia przekątnych.
• Odcinki od środka do wierzchołków mają długość \(\frac d2\) (bo przekątne w prostokącie są równe i dzielą się na połowy).
• Cztery trójkąty wokół punktu \(O\) tworzą „romb” (czworokąt o wszystkich bokach równych \(\frac d2\)), którego przekątne pokrywają się z bokami prostokąta.

Najwygodniej jednak skorzystać z bardzo prostego wzoru na pole, który działa dla każdego czworokąta o przekątnych \(d_1\), \(d_2\) przecinających się pod kątem \(\varphi\) (w szczególności dla prostokąta):

Wzór na pole z przekątnych i kąta między nimi

Jeśli przekątne mają długości \(d_1\) i \(d_2\), a kąt między nimi wynosi \(\varphi\), to:

\[
P=\frac{d_1\cdot d_2\cdot \sin\varphi}{2}
\]

W prostokącie przekątne są równe, więc \(d_1=d_2=d\). Dostajemy wtedy wersję „typowo prostokątną”:

\[
P=\frac{d^2}{2}\sin\varphi
\]

Wyprowadzenie wzoru \(P=\frac{d_1 d_2 \sin\varphi}{2}\) (metodycznie i prosto)

Niech przekątne przecinają się w punkcie \(O\). Rozpatrzmy cztery trójkąty, na które przekątne dzielą czworokąt (dla prostokąta też tak jest). Weźmy jeden z tych trójkątów, którego boki to połówki przekątnych:

• Jedno ramię ma długość \(\frac{d_1}{2}\).
• Drugie ramię ma długość \(\frac{d_2}{2}\).
• Kąt między nimi to \(\varphi\) (to właśnie kąt między przekątnymi).

Pole takiego trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi wynosi:

\[
P_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot \frac{d_1}{2}\cdot \frac{d_2}{2}\cdot \sin\varphi
\]

W całym czworokącie są 4 takie trójkąty, więc:

\[
P=4\cdot P_{\triangle}=4\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{d_1}{2}\cdot \frac{d_2}{2}\cdot \sin\varphi\right)=\frac{d_1 d_2 \sin\varphi}{2}
\]

Dla prostokąta \(d_1=d_2=d\), więc od razu dostajemy \(P=\frac{d^2}{2}\sin\varphi\).

Uwaga praktyczna: jaki jest kąt \(\varphi\) w prostokącie?

Dla kwadratu przekątne są prostopadłe, więc \(\varphi=90^\circ\) i \(\sin\varphi=1\). Wtedy:

\[
P=\frac{d^2}{2}
\]

Dla „długiego” prostokąta przekątne przecinają się pod kątem mniejszym niż \(90^\circ\), więc \(\sin\varphi<1\), a pole jest mniejsze niż \(\frac{d^2}{2}\).

Alternatywny wzór: przekątna \(d\) i jeden bok \(a\)

Często w zadaniach zamiast kąta między przekątnymi mamy: przekątną \(d\) i jeden bok \(a\). Wtedy drugi bok \(b\) liczymy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym:

\[
d^2=a^2+b^2 \quad\Rightarrow\quad b=\sqrt{d^2-a^2}
\]

A więc pole:

\[
P=a\cdot b=a\sqrt{d^2-a^2}
\]

Przykładowe obliczenia (krok po kroku)

Przykład 1: dana przekątna i kąt między przekątnymi

Dany prostokąt ma przekątną \(d=10\) i kąt między przekątnymi \(\varphi=60^\circ\). Oblicz pole.

Korzystamy ze wzoru:

\[
P=\frac{d^2}{2}\sin\varphi
\]

Podstawiamy:

\[
P=\frac{10^2}{2}\sin 60^\circ=\frac{100}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=50\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}\approx 43{,}30
\]

Odpowiedź: \(P=25\sqrt{3}\approx 43{,}30\).

Przykład 2: dana przekątna i jeden bok

Dany prostokąt ma przekątną \(d=13\) oraz bok \(a=5\). Oblicz pole.

Najpierw liczmy drugi bok:

\[
b=\sqrt{d^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12
\]

Teraz pole:

\[
P=a\cdot b=5\cdot 12=60
\]

Odpowiedź: \(P=60\).

Przykład 3: „ta sama przekątna, różne pola” (dlaczego sama przekątna nie wystarcza)

Załóżmy, że \(d=10\).

• Jeśli \(a=6\), to \(b=\sqrt{100-36}=8\), więc \(P=48\).
• Jeśli \(a=1\), to \(b=\sqrt{100-1}=\sqrt{99}\approx 9{,}95\), więc \(P\approx 9{,}95\).

Widzisz, że to wciąż prostokąty o tej samej przekątnej, ale pola są zupełnie inne.

Tabela: szybkie podsumowanie wzorów

Kalkulator: pole prostokąta z przekątnych

Poniżej są dwa warianty obliczeń. Wybierz ten, do którego masz dane.

Najczęstsze błędy i wskazówki

• Mylenie kąta: we wzorze \(P=\frac{d^2}{2}\sin\varphi\) chodzi o kąt między przekątnymi, a nie kąt w wierzchołku prostokąta (tam zawsze jest \(90^\circ\)).
• Stopnie vs radiany: w kalkulatorach szkolnych zwykle ustawiasz stopnie. W programowaniu (JavaScript) funkcja \(\sin\) używa radianów, dlatego przeliczamy \(\varphi^\circ\) na \(\varphi\cdot \pi/180\).
• Warunek \(a<d\): jeśli znasz \(d\) i \(a\), to musi być \(a<d\), bo w trójkącie prostokątnym przekątna jest przeciwprostokątną (najdłuższym bokiem).

Jeśli chcesz, mogę dopisać zestaw krótkich zadań do samodzielnego rozwiązania (z odpowiedziami) albo pokazać, jak wyznaczyć kąt \(\varphi\) mając same boki \(a\) i \(b\).