Pole powierzchni – wzór i przykłady obliczeń

Pole powierzchni pozwala określić, jak duży obszar zajmuje figura albo jak rozległa jest powierzchnia bryły. Obliczamy je na przykład wtedy, gdy chcemy kupić płytki na podłogę, oszacować ilość farby potrzebnej do pomalowania ścian lub ustalić, ile papieru potrzeba do oklejenia pudełka. Nie istnieje jeden wzór na pole powierzchni pasujący do wszystkich kształtów – odpowiedni wzór wybieramy w zależności od figury lub bryły.

Poniżej wyjaśniamy, co oznacza pole, jak dobierać jednostki i jak krok po kroku wykonywać obliczenia. Zaczniemy od prostokąta i kwadratu, a następnie przejdziemy do innych figur oraz powierzchni prostych brył.

Co to jest pole powierzchni?

Wyobraź sobie kartkę podzieloną na jednakowe kwadraty. Jeśli każdy kwadrat ma bok długości jednego centymetra, jego pole wynosi jeden centymetr kwadratowy, czyli \(1\ \mathrm{cm}^{2}\). Pole narysowanej figury mówi, ile takich jednostkowych kwadratów mieści się w jej wnętrzu – przy czym możemy uwzględniać również części kwadratów.

Na przykład prostokąt, który mieści pięć rzędów po osiem kwadratów jednostkowych, ma pole:

\[ P = 5 \cdot 8 = 40\ \mathrm{cm}^{2} \]

Literą \(P\) będziemy oznaczać pole figury. W przypadku brył użyjemy oznaczenia \(P_{c}\) dla pola powierzchni całkowitej.

Pole, obwód i objętość – czym się różnią?

• Pole figury opisuje wielkość obszaru znajdującego się wewnątrz jej granicy. Podajemy je w jednostkach kwadratowych, np. \(\mathrm{m}^{2}\).
• Obwód figury to długość jej brzegu. Podajemy go w jednostkach długości, np. \(\mathrm{m}\).
• Pole powierzchni bryły opisuje łączną wielkość jej powierzchni, np. wszystkich ścian pudełka. Także podajemy je w jednostkach kwadratowych.
• Objętość bryły określa, ile miejsca zajmuje ona w przestrzeni. Podajemy ją w jednostkach sześciennych, np. \(\mathrm{m}^{3}\).

Praktyczna wskazówka: jeśli kupujesz listwę wokół podłogi, interesuje Cię jej obwód. Jeśli kupujesz płytki na całą podłogę, potrzebujesz jej pola.

Jednostki pola powierzchni i ich zamiana

Jednostka pola powstaje z jednostki długości podniesionej do kwadratu. Zapis \(\mathrm{m}^{2}\) czytamy jako „metr kwadratowy”. To pole kwadratu o boku długości jednego metra.

Dlaczego jeden metr kwadratowy to aż dziesięć tysięcy centymetrów kwadratowych? Ponieważ każdy z dwóch boków kwadratu ma długość stu centymetrów:

\[ 1\ \mathrm{m}^{2} = 100\ \mathrm{cm} \cdot 100\ \mathrm{cm} = 10\,000\ \mathrm{cm}^{2} \]

Przy przeliczaniu pola przelicznik długości trzeba podnieść do kwadratu. Nie wystarczy zastosować go jeden raz.

Na przykład:

\[ 2{,}5\ \mathrm{m}^{2} = 2{,}5 \cdot 10\,000\ \mathrm{cm}^{2} = 25\,000\ \mathrm{cm}^{2} \]

Jak obliczyć pole powierzchni? Uniwersalny sposób postępowania

1. Rozpoznaj kształt. Ustal, czy obliczasz pole prostokąta, trójkąta, koła, czy powierzchnię bryły.
2. Wypisz dane. Zapisz długości boków, wysokość, promień lub inne potrzebne wielkości.
3. Ujednolić jednostki. Przed podstawieniem do wzoru wyraź wszystkie długości w tej samej jednostce.
4. Wybierz wzór i podstaw dane. Zwróć uwagę na to, co oznacza każdy symbol.
5. Wykonaj działania i podaj jednostkę kwadratową. Sprawdź też, czy wynik jest rozsądny.

Warto wykonać prosty szkic i zaznaczyć na nim dane. To szczególnie pomaga wtedy, gdy trzeba rozpoznać wysokość figury albo podzielić złożony kształt na mniejsze części.

Wzory na pola figur geometrycznych

Sama znajomość wzoru to dopiero początek. Trzeba jeszcze umieć wskazać na rysunku odpowiednie odcinki. Przyjrzyjmy się każdej z figur.

Pole prostokąta – iloczyn długości i szerokości

Prostokąt ma cztery kąty proste, a jego przeciwległe boki są równe. Aby obliczyć jego pole, mnożymy długości dwóch sąsiednich boków:

\[ P = a \cdot b \]

Ten wzór odpowiada liczeniu kwadratów w rzędach: liczba rzędów pomnożona przez liczbę kwadratów w każdym rzędzie daje ich łączną liczbę.

Przykład: podłoga pokoju ma kształt prostokąta o długości \(5\ \mathrm{m}\) i szerokości \(4\ \mathrm{m}\).

\[ P = 5\ \mathrm{m} \cdot 4\ \mathrm{m} = 20\ \mathrm{m}^{2} \]

Powierzchnia podłogi wynosi dwadzieścia metrów kwadratowych. Taki obszar trzeba pokryć płytkami lub panelami; ewentualny zapas materiału dolicza się osobno.

Pole kwadratu – bok pomnożony przez siebie

Kwadrat jest szczególnym prostokątem: wszystkie jego boki są równe. Dlatego w iloczynie długości boków obie liczby są takie same:

\[ P = a \cdot a = a^{2} \]

Przykład: kwadratowa płytka ma bok długości \(30\ \mathrm{cm}\).

\[ P = (30\ \mathrm{cm})^{2} = 900\ \mathrm{cm}^{2} \]

Zapis „bok do kwadratu” oznacza pomnożenie długości boku przez nią samą, a nie pomnożenie jej przez dwa. Po przeliczeniu na metry kwadratowe otrzymamy:

\[ 900\ \mathrm{cm}^{2} = 0{,}09\ \mathrm{m}^{2} \]

Pole trójkąta – połowa iloczynu podstawy i wysokości

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

\[ P = \frac{a \cdot h}{2} \]

Podstawą \(a\) może być dowolny bok trójkąta. Wysokość \(h\) musi być jednak poprowadzona właśnie do wybranej podstawy: jest to odcinek prostopadły od przeciwległego wierzchołka do prostej zawierającej tę podstawę.

Dzielenie przez dwa można wyjaśnić geometrycznie: z dwóch przystających trójkątów da się ułożyć równoległobok o tej samej podstawie i wysokości. Jeden trójkąt zajmuje połowę jego pola.

Przykład: podstawa trójkąta ma długość \(10\ \mathrm{cm}\), a wysokość opuszczona na tę podstawę ma \(6\ \mathrm{cm}\).

\[ P = \frac{10\ \mathrm{cm} \cdot 6\ \mathrm{cm}}{2} = 30\ \mathrm{cm}^{2} \]

Uwaga: wysokość nie musi być bokiem trójkąta. W trójkącie rozwartokątnym niektóre wysokości znajdują się poza jego wnętrzem.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są prostopadłe, więc jedna może być podstawą, a druga odpowiadającą jej wysokością. Jeśli mają długości \(3\ \mathrm{cm}\) i \(4\ \mathrm{cm}\), pole wynosi:

\[ P = \frac{3 \cdot 4}{2}\ \mathrm{cm}^{2} = 6\ \mathrm{cm}^{2} \]

Pole równoległoboku – podstawa razy wysokość

Równoległobok ma dwie pary boków równoległych. Jego pole obliczamy podobnie jak pole prostokąta:

\[ P = a \cdot h \]

Można to sobie wyobrazić jako odcięcie trójkątnego fragmentu z jednej strony równoległoboku i przesunięcie go na drugą stronę. Powstaje prostokąt o tej samej podstawie i wysokości, a pole się nie zmienia.

Przykład: podstawa ma \(8\ \mathrm{cm}\), a odpowiadająca jej wysokość \(5\ \mathrm{cm}\).

\[ P = 8\ \mathrm{cm} \cdot 5\ \mathrm{cm} = 40\ \mathrm{cm}^{2} \]

Nie należy zastępować wysokości długością ukośnego boku. Wysokość mierzymy prostopadle między prostymi zawierającymi przeciwległe podstawy.

Pole rombu – dwa przydatne wzory

Romb ma wszystkie boki równej długości i jest szczególnym równoległobokiem. Jeśli znamy bok \(a\) oraz odpowiadającą mu wysokość \(h\), korzystamy ze wzoru:

\[ P = a \cdot h \]

Jeżeli znamy długości obu przekątnych, wygodniejszy będzie wzór:

\[ P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \]

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się wzajemnie na połowy. Dzielą też romb na cztery trójkąty prostokątne – dodanie ich pól prowadzi do powyższego wzoru.

Przykład: przekątne rombu mają długości \(12\ \mathrm{cm}\) i \(8\ \mathrm{cm}\).

\[ P = \frac{12\ \mathrm{cm} \cdot 8\ \mathrm{cm}}{2} = 48\ \mathrm{cm}^{2} \]

Pole trapezu – średnia długość podstaw razy wysokość

We wzorze na pole trapezu \(a\) i \(b\) oznaczają długości jego równoległych boków, czyli podstaw. Wysokość \(h\) to prostopadła odległość między prostymi zawierającymi podstawy.

\[ P = \frac{(a+b)\cdot h}{2} \]

Możemy odczytać ten wzór następująco: dodaj długości podstaw, podziel sumę przez dwa, a następnie pomnóż przez wysokość. Pole trapezu jest więc równe polu prostokąta o szerokości będącej średnią długości obu podstaw i tej samej wysokości.

Przykład: podstawy trapezu mają długości \(6\ \mathrm{cm}\) i \(10\ \mathrm{cm}\), a wysokość wynosi \(4\ \mathrm{cm}\).

\[ P = \frac{(6+10)\cdot 4}{2}\ \mathrm{cm}^{2} = 32\ \mathrm{cm}^{2} \]

Pole koła – promień do kwadratu razy pi

Pole koła obliczamy ze wzoru:

\[ P = \pi r^{2} \]

Promień \(r\) to odległość od środka koła do jego brzegu. Liczba \(\pi\), czytana jako „pi”, jest stałą matematyczną. W prostych obliczeniach często przyjmujemy \(\pi \approx 3{,}14\).

Przykład: koło ma promień \(5\ \mathrm{cm}\).

\[ P = \pi \cdot (5\ \mathrm{cm})^{2} = 25\pi\ \mathrm{cm}^{2} \approx 78{,}5\ \mathrm{cm}^{2} \]

Wynik \(25\pi\ \mathrm{cm}^{2}\) jest dokładny, natomiast wynik dziesiętny otrzymany przy użyciu przybliżenia liczby pi jest przybliżony.

Jeśli w zadaniu podano średnicę \(d\), najpierw trzeba podzielić ją przez dwa:

\[ r = \frac{d}{2} \]

Przykładowo średnica \(10\ \mathrm{cm}\) oznacza promień \(5\ \mathrm{cm}\), a nie \(10\ \mathrm{cm}\). Pamiętaj też, że koło obejmuje obszar wewnątrz brzegu, a okrąg jest samym brzegiem – dla okręgu obliczamy długość, nie pole.

Przykład obliczenia pola przy różnych jednostkach długości

Prostokątny blat ma długość \(1{,}2\ \mathrm{m}\) i szerokość \(80\ \mathrm{cm}\). Zanim pomnożymy długości, wyrażamy je w tych samych jednostkach:

\[ 80\ \mathrm{cm} = 0{,}8\ \mathrm{m} \]

Następnie stosujemy wzór na pole prostokąta:

\[ P = 1{,}2\ \mathrm{m} \cdot 0{,}8\ \mathrm{m} = 0{,}96\ \mathrm{m}^{2} \]

Można też przeprowadzić całe obliczenie w centymetrach:

\[ P = 120\ \mathrm{cm} \cdot 80\ \mathrm{cm} = 9600\ \mathrm{cm}^{2} \]

Oba wyniki opisują to samo pole. Różnią się jedynie jednostką zapisu.

Jak obliczyć pole figury złożonej?

Nie każda podłoga czy działka ma kształt jednej prostej figury. W takich sytuacjach korzystamy z dwóch podstawowych metod:

• Dodawanie pól: dzielimy figurę na prostsze części, które nie nakładają się na siebie, i sumujemy ich pola.
• Odejmowanie pól: obliczamy pole większej figury, a następnie odejmujemy pole brakującego fragmentu.

Przykład: podłoga w kształcie litery L

Wyobraź sobie prostokąt o wymiarach \(6\ \mathrm{m}\) na \(4\ \mathrm{m}\), z którego narożnika wycięto mniejszy prostokąt o wymiarach \(2\ \mathrm{m}\) na \(1{,}5\ \mathrm{m}\).

Pole całego dużego prostokąta wynosi:

\[ P_{1} = 6 \cdot 4\ \mathrm{m}^{2} = 24\ \mathrm{m}^{2} \]

Pole wyciętego fragmentu to:

\[ P_{2} = 2 \cdot 1{,}5\ \mathrm{m}^{2} = 3\ \mathrm{m}^{2} \]

Od większego pola odejmujemy mniejsze:

\[ P = P_{1} – P_{2} = 24\ \mathrm{m}^{2} – 3\ \mathrm{m}^{2} = 21\ \mathrm{m}^{2} \]

Podłoga ma pole dwudziestu jeden metrów kwadratowych. Tą samą metodą można obliczać powierzchnię ściany po odjęciu pól okien i drzwi.

Pole powierzchni brył – co trzeba zsumować?

W przypadku figur płaskich mierzymy obszar w płaszczyźnie. W przypadku brył interesuje nas ich powierzchnia, na przykład wszystkie zewnętrzne ściany pudełka. Pomocna jest siatka bryły, czyli przedstawienie jej powierzchni po rozłożeniu na płaszczyźnie.

Pole powierzchni całkowitej \(P_{c}\) obejmuje całą powierzchnię bryły. Dla graniastosłupów i walca wyróżniamy również pole powierzchni bocznej \(P_{b}\), które nie obejmuje podstaw. Jeśli \(P_{p}\) oznacza pole jednej podstawy, to:

\[ P_{c} = 2P_{p} + P_{b} \]

Pole powierzchni sześcianu

Sześcian ma sześć jednakowych ścian będących kwadratami. Każda ściana ma pole \(a^{2}\), dlatego:

\[ P_{c} = 6a^{2} \]

Przykład: sześcienne pudełko ma krawędź długości \(4\ \mathrm{cm}\).

\[ P_{c} = 6 \cdot (4\ \mathrm{cm})^{2} = 6 \cdot 16\ \mathrm{cm}^{2} = 96\ \mathrm{cm}^{2} \]

Jest to suma pól wszystkich sześciu ścian, a nie objętość pudełka.

Pole powierzchni prostopadłościanu

Prostopadłościan o wymiarach \(a\), \(b\), \(c\) ma trzy pary jednakowych prostokątnych ścian. Ich pola wynoszą odpowiednio \(ab\), \(ac\) i \(bc\). Każde z tych pól występuje dwa razy:

\[ P_{c} = 2(ab + ac + bc) \]

Przykład: pudełko ma długość \(5\ \mathrm{cm}\), szerokość \(3\ \mathrm{cm}\) i wysokość \(2\ \mathrm{cm}\).

\[ P_{c} = 2(5\cdot 3 + 5\cdot 2 + 3\cdot 2)\ \mathrm{cm}^{2} = 2(15+10+6)\ \mathrm{cm}^{2} = 62\ \mathrm{cm}^{2} \]

Jeżeli zadanie dotyczy pudełka bez wieczka, nie liczymy wszystkich sześciu ścian. Od pola powierzchni całkowitej trzeba wtedy odjąć pole brakującej ściany.

Pole powierzchni walca

Walec ma dwie podstawy w kształcie koła i powierzchnię boczną. Po rozłożeniu powierzchni bocznej na płaszczyźnie otrzymujemy prostokąt. Jeden jego bok ma długość równą wysokości walca \(h\), a drugi – obwodowi podstawy, czyli \(2\pi r\).

Stąd pole powierzchni bocznej:

\[ P_{b} = 2\pi rh \]

Po dodaniu pól dwóch podstaw otrzymujemy pole powierzchni całkowitej:

\[ P_{c} = 2\pi r^{2} + 2\pi rh \]

Przykład: walec ma promień podstawy \(3\ \mathrm{cm}\) i wysokość \(5\ \mathrm{cm}\).

\[ P_{c} = 2\pi \cdot 3^{2}\ \mathrm{cm}^{2} + 2\pi \cdot 3 \cdot 5\ \mathrm{cm}^{2} = 48\pi\ \mathrm{cm}^{2} \approx 150{,}72\ \mathrm{cm}^{2} \]

Jeśli obliczamy powierzchnię samej etykiety otaczającej puszkę, potrzebne jest tylko pole powierzchni bocznej, bez pól denka i wieczka.

Jak zmiana wymiarów wpływa na pole?

Jeśli wszystkie długości figury zwiększymy tyle samo razy, jej pole zmieni się o kwadrat tego mnożnika. Na przykład podwojenie obu boków prostokąta zwiększa pole czterokrotnie:

\[ (2a)\cdot(2b) = 4ab \]

Kwadrat o boku \(3\ \mathrm{cm}\) ma pole \(9\ \mathrm{cm}^{2}\), a kwadrat o boku \(6\ \mathrm{cm}\) – pole \(36\ \mathrm{cm}^{2}\). Bok wzrósł dwukrotnie, ale pole czterokrotnie.

Jeśli natomiast podwoimy tylko jeden bok prostokąta, pozostawiając drugi bez zmian, pole wzrośnie dwukrotnie. Trzeba więc zwracać uwagę na to, które wymiary zostały zmienione.

Najczęstsze błędy przy obliczaniu pola

• Mylenie pola z obwodem. Dla prostokąta pole to \(a\cdot b\), a obwód to \(2(a+b)\).
• Brak jednostki kwadratowej. Pole zapisujemy np. w \(\mathrm{cm}^{2}\), a nie w \(\mathrm{cm}\).
• Mnożenie danych w różnych jednostkach bez ich przeliczenia. Najpierw zamień metry i centymetry na jedną wspólną jednostkę.
• Podstawianie ukośnego boku zamiast wysokości. Wysokość musi być prostopadła do wybranej podstawy.
• Pomijanie dzielenia przez dwa. Dotyczy to między innymi wzorów na pole trójkąta i trapezu.
• Mylenie promienia ze średnicą. Do wzoru \(P=\pi r^{2}\) podstawiamy promień.
• Liczenie niewłaściwych powierzchni bryły. Sprawdź, czy zadanie dotyczy całej powierzchni, samych ścian bocznych, czy np. pudełka bez wieczka.
• Zbyt wczesne zaokrąglanie. W obliczeniach z liczbą pi najlepiej zachować symbol \(\pi\) do ostatniego kroku, chyba że polecenie podaje inny sposób.

Ćwiczenia z odpowiedziami

Spróbuj samodzielnie dobrać wzór i wykonać obliczenia. Dopiero potem sprawdź rozwiązania.

1. Prostokąt ma boki długości \(7\ \mathrm{cm}\) i \(9\ \mathrm{cm}\). Oblicz jego pole.
2. Trójkąt ma podstawę długości \(12\ \mathrm{cm}\) i odpowiadającą jej wysokość \(5\ \mathrm{cm}\). Jakie jest jego pole?
3. Koło ma średnicę \(8\ \mathrm{m}\). Oblicz pole, przyjmując \(\pi \approx 3{,}14\).
4. Prostokątna mata ma wymiary \(150\ \mathrm{cm}\) i \(2\ \mathrm{m}\). Podaj jej pole w metrach kwadratowych.
5. Sześcian ma krawędź długości \(5\ \mathrm{cm}\). Oblicz jego pole powierzchni całkowitej.

Rozwiązania

1. Prostokąt: \(P = 7\cdot 9\ \mathrm{cm}^{2} = 63\ \mathrm{cm}^{2}\).
2. Trójkąt: \(P = \frac{12\cdot 5}{2}\ \mathrm{cm}^{2} = 30\ \mathrm{cm}^{2}\).
3. Koło: promień wynosi \(r = 8\ \mathrm{m}/2 = 4\ \mathrm{m}\), więc \(P = 16\pi\ \mathrm{m}^{2} \approx 50{,}24\ \mathrm{m}^{2}\).
4. Mata: \(150\ \mathrm{cm} = 1{,}5\ \mathrm{m}\), zatem \(P = 1{,}5\cdot 2\ \mathrm{m}^{2} = 3\ \mathrm{m}^{2}\).
5. Sześcian: \(P_{c} = 6\cdot 5^{2}\ \mathrm{cm}^{2} = 150\ \mathrm{cm}^{2}\).

Podsumowanie – co warto zapamiętać?

Obliczanie pola zaczyna się od rozpoznania kształtu i ustalenia, jakie wymiary są potrzebne. Dla prostokąta mnożymy długości sąsiednich boków, dla trójkąta – podstawę i wysokość, a następnie dzielimy wynik przez dwa. Dla koła mnożymy kwadrat promienia przez liczbę pi. Powierzchnię bryły obliczamy, uwzględniając wszystkie części wskazane w zadaniu.

Przed podstawieniem danych zawsze ujednolić jednostki, a wynik zapisać w jednostce kwadratowej. Przy bardziej złożonym kształcie wykorzystaj dodawanie lub odejmowanie pól prostszych figur. Dzięki temu nawet nietypowe zadanie można sprowadzić do kilku podstawowych obliczeń.