Wzór na długość odcinka – przykłady i zadania
W wielu zadaniach z geometrii i analizy współrzędnych pojawia się potrzeba policzenia, jak długa jest prosta „kreska” łącząca dwa punkty. Tę kreskę nazywamy odcinkiem, a jego długość można obliczać na kilka sposobów – zależnie od tego, w jakiej sytuacji pracujemy (oś liczbowa, układ współrzędnych, geometria w przestrzeni).
1. Co to jest długość odcinka?
Długość odcinka to odległość między jego końcami. Jeśli odcinek ma końce w punktach \(A\) i \(B\), to jego długość zapisujemy zwykle jako:
\[
|AB|
\]
Warto pamiętać, że długość jest zawsze nieujemna, więc nie może wyjść liczbą ujemną.
2. Długość odcinka na osi liczbowej (1D)
Jeżeli punkty leżą na osi liczbowej, czyli mają tylko jedną współrzędną (np. \(x_A\) i \(x_B\)), to długość odcinka jest po prostu wartością bezwzględną różnicy:
\[
|AB| = |x_B – x_A|
\]
Przykład 1
Punkty: \(A=-3\), \(B=5\).
\[
|AB| = |5-(-3)| = |8| = 8
\]
Odcinek ma długość 8.
Przykład 2
Punkty: \(A=7\), \(B=2\).
\[
|AB| = |2-7| = |-5| = 5
\]
Zauważ: kolejność odejmowania nie ma znaczenia, bo i tak bierzemy wartość bezwzględną.
3. Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych (2D)
Najczęściej spotkasz sytuację, w której punkt ma dwie współrzędne: \(A(x_A,y_A)\) i \(B(x_B,y_B)\). Wtedy korzystamy ze wzoru wynikającego z twierdzenia Pitagorasa:
\[
|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
\]
Skąd to się bierze (intuicja)? Różnice \((x_B-x_A)\) i \((y_B-y_A)\) to „przesunięcia” w poziomie i pionie. Tworzą one przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a szukana długość odcinka to przeciwprostokątna.
Prosty rysunek odcinka w układzie współrzędnych
Poniżej jest prosty, responsywny rysunek: punkty \(A\) i \(B\), ich „rzuty” oraz odcinek \(AB\). (Jeśli zmienisz rozmiar ekranu, rysunek dopasuje się automatycznie).
4. Jak liczyć krok po kroku? (metoda, która zmniejsza ryzyko błędu)
Dla punktów \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\):
- Policz różnicę współrzędnych: \(\Delta x = x_B-x_A\), \(\Delta y = y_B-y_A\).
- Podnieś do kwadratu: \((\Delta x)^2\), \((\Delta y)^2\).
- Dodaj: \((\Delta x)^2+(\Delta y)^2\).
- Wyciągnij pierwiastek: \(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\).
5. Przykłady (2D) z pełnym rozwiązaniem
Przykład 3
\(A(1,2)\), \(B(6,5)\).
\[
|AB|=\sqrt{(6-1)^2+(5-2)^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}
\]
To jest wynik dokładny: \(\sqrt{34}\). W przybliżeniu: \(\sqrt{34}\approx 5{,}83\).
Przykład 4 (gdy jedna współrzędna się nie zmienia)
\(A(4,-1)\), \(B(4,6)\).
Tu \(\Delta x=4-4=0\), więc:
\[
|AB|=\sqrt{0^2+(6-(-1))^2}=\sqrt{7^2}=7
\]
To logiczne: punkty leżą jeden nad drugim, więc odległość to różnica w \(y\).
Przykład 5 (ładny wynik całkowity)
\(A(-2,1)\), \(B(1,5)\).
\[
|AB|=\sqrt{(1-(-2))^2+(5-1)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5
\]
To klasyczny trójkąt \(3\!-\!4\!-\!5\).
6. Tabela: szybkie porównanie sytuacji i wzorów
| Sytuacja | Dane punktów | Wzór na długość | Uwaga |
|---|---|---|---|
| Oś liczbowa (1D) | \(A(x_A)\), \(B(x_B)\) | \(|AB|=|x_B-x_A|\) | Wartość bezwzględna usuwa minus |
| Płaszczyzna (2D) | \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\) | \(|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\) | Pitagoras: suma kwadratów „kroków” |
| Przestrzeń (3D) | \(A(x_A,y_A,z_A)\), \(B(x_B,y_B,z_B)\) | \(|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\) | Dodatkowy „krok” w osi \(z\) |
7. Zadania na długość odcinka (z rozwiązaniami)
Zadanie 1 (1D)
Oblicz długość odcinka o końcach \(A=-12\), \(B=3\).
\[
|AB|=|3-(-12)|=|15|=15
\]
Zadanie 2 (2D)
Dane \(A(2,-3)\), \(B(-4,5)\). Oblicz \(|AB|\).
\[
|AB|=\sqrt{(-4-2)^2+(5-(-3))^2}=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10
\]
Zadanie 3 (2D, wynik z pierwiastkiem)
Dane \(A(0,0)\), \(B(7,1)\). Oblicz \(|AB|\).
\[
|AB|=\sqrt{(7-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}
\]
Wynik \(\sqrt{50}\) warto uprościć: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\).
8. Zadania do samodzielnego rozwiązania (bez odpowiedzi od razu)
- \(A=1\), \(B=-9\). Oblicz \(|AB|\).
- \(A(3,4)\), \(B(3,-2)\). Oblicz \(|AB|\).
- \(A(-1,-1)\), \(B(2,3)\). Oblicz \(|AB|\).
- \(A(5,0)\), \(B(-1,0)\). Oblicz \(|AB|\) i opisz, co zauważasz.
9. Najczęstsze błędy i jak ich uniknąć
- Brak wartości bezwzględnej w 1D: gdy liczysz \((x_B-x_A)\), możesz dostać liczbę ujemną, a długość musi być \(\ge 0\).
- Zapominanie o kwadratach: we wzorze 2D musi być \((\Delta x)^2\) i \((\Delta y)^2\), nie same różnice.
- Błąd w nawiasach przy liczbach ujemnych: np. \(5-(-3)=8\). Zawsze zapisuj ujemne liczby w nawiasach podczas podstawiania.
- Nieupraszczanie pierwiastków: często wynik da się uprościć, np. \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\).
10. Kalkulator długości odcinka (2D)
Jeśli chcesz szybko sprawdzić wynik, skorzystaj z kalkulatora. Wpisz współrzędne punktów \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\), a otrzymasz długość \(|AB|\) (dokładnie jako liczba w przybliżeniu dziesiętnym).
11. Podsumowanie (co warto zapamiętać)
- Na osi liczbowej: \(\;|AB|=|x_B-x_A|\).
- W układzie współrzędnych (2D): \(\;|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
- To zastosowanie twierdzenia Pitagorasa – różnice współrzędnych traktujesz jak „kroki” w poziomie i pionie.
